Игаль *    (yigal_s) wrote,
Игаль *   
yigal_s

Математический парадокс

Помогите разобраться...

Возьмём отрезок от 0 до 1.

На первом шаге поделим его пополам (поровну) на две части. Левую часть обозначим через 0. Правую через 1.
На втором шаге поделим каждую часть снова пополам (у нас будет 4 части). Теперь наши части будут занумерованы
последовательно 00 01 10 11(мы добавили к старому красному номеру зеленую 0 или 1 справа).
На третьем шаге наши отрезки будут занумерованы 000 001 010 011 100 101 110 111

Итд. до бесконечности.

В конечном итоге (после счетного количества делений отрезка напополам) каждый "отрезок" будет занумерован бесконечной двоичной последовательностью чисел. Более того, мы сгенерим все такие возможные последовательности. Мощность множества таких последовательностей, как известно, равна мощности континуума, иными словами мы получили континуальное по мощности (!?) множество "отрезков".

С другой стороны, мы просто могли бы представить себе альтернативный эксперимент, что на первом шаге у нас, скажем, есть один отрезок длиной 1 см (номер 1), на втором шаге мы добавляем к нему еще один (номер 2), получаем - два отрезка, каждый длиной 1 см, на третьем шаге добавляем еще два (номер 3 и номер 4), получаем - четыре отрезка длиной 1 см итд. Отрезки естественным образом нумеруются последовательными натуральными числами. Таки образом, после бесконечного количества шагов мы имели бы счетное количество отрезков, и при этом количество отрезков на N-м шаге второго эксперимента совпадало бы с количеством отрезков на N-м шаге первого эксперимента... Но в первом эксперименте мы получили несчетное множество отрезков, а во втором - счетное.

Парадокс?

ПС: это не троллинг, я действительно запутался

по мотивам https://habrahabr.ru/post/259217/

Crosspost: dreamwidth.org
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 26 comments